Question

19．数列{a_n}满足2na_n+1=（n+1）a_n，其前n项和为S_n，若${a_1}=\frac{1}{2}$，则使得$2-{S_n}＜\frac{6}{5}{a_n}$最小的n值为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，运用等比数列的定义和通项公式可得a_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法和等比数列的求和公式，可得S_n，解不等式可得n＞10，即可得到所求n的最小值．

解答 解：∵2na_n+1=（n+1）a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，
若${a_1}=\frac{1}{2}$，
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即有a_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n项和为S_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$S_n=（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=2-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
则$2-{S_n}＜\frac{6}{5}{a_n}$即为（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜$\frac{6}{5}$n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得n＞10，
则n的最小值为11．
故选：D．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查不等式的解法，化简整理的运算能力，属于中档题．