Question

19．如图，AP为圆O的切线，切点为A，过P作过圆心O的割线交圆于B，C两点，AH⊥BC于H．求证：PA•AH=PC•HB．

Answer 1

分析 连AC，AB，利用射影定理可得AH²=CH•HB，即$\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{AH}$，再证明$\frac{PC}{CH}=\frac{PA}{AH}$，即$\frac{AH}{CH}=\frac{PA}{PC}$，即可得出结论．

解答 证明：连AC，AB．因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．
又AH⊥PB，故AH²=CH•HB，即$\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{AH}$．…5
因PA为圆O的切线，故∠PAC=∠B．
在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°．
在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°．
所以，∠HAC=∠B．
所以，∠PAC=∠CAH，
所以，$\frac{PC}{CH}=\frac{PA}{AH}$，即$\frac{AH}{CH}=\frac{PA}{PC}$．
所以，$\frac{PA}{PC}=\frac{HB}{AH}$，即PA•AH=PC•HB．…10分．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查射影定理，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．