Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若h（x）=f（x）-2x，当a=-3时，求h（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有唯一的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）h（x）定义域为（0，+∞），求导数，利用导数小于0，求h（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有唯一的零点，等价于$alnx=\frac{1}{x}$有唯一的实根，构造函数φ（x）=xlnx，研究函数的图象求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）h（x）定义域为（0，+∞），$h'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x}-2=-\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x^2}=-\frac{（2x-1）（x-1）}{x^2}$…（2分）
∴h（x）的单调递减区间是$（{0，\frac{1}{2}}）$和（1，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）问题等价于$alnx=\frac{1}{x}$有唯一的实根
显然a≠0，则关于x的方程$xlnx=\frac{1}{a}$有唯一的实根•…（6分）
构造函数φ（x）=xlnx，则φ'（x）=1+lnx，
由φ'（x）=1+lnx=0，得x=e^-1
当0＜x＜e^-1时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减
当x＞e^-1时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增
所以φ（x）的极小值为φ（e^-1）=-e^-1•…（8分）
如图，作出函数φ（x）的大致图象，则要使方程$xlnx=\frac{1}{a}$的唯一的实根，
只需直线$y=\frac{1}{a}$与曲线y=φ（x）有唯一的交点，则$\frac{1}{a}=-{e^{-1}}$或$\frac{1}{a}＞0$
解得a=-e或a＞0
故实数a的取值范围是{-e}∪（0，+∞）…（12分）

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，本题是一道综合题．