Question

8．若关于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．

Answer 1

分析 由sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0，得sinx+$\sqrt{3}$cosx=-a，画出函数y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=$2sin（x+\frac{π}{3}）$的图象，数形结合得答案．

解答 解：由sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0，得sinx+$\sqrt{3}$cosx=-a，
令y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=$2sin（x+\frac{π}{3}）$，
∵x∈（0，2π），∴x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
作出函数$y=2sin（x+\frac{π}{3}）$的图象如图：
若关于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，
则-2$＜-a＜\sqrt{3}$，或$\sqrt{3}＜-a＜2$，
即$-2＜a＜-\sqrt{3}$或$-\sqrt{3}＜a＜2$．
当a∈（-2，-$\sqrt{3}$）时，$α+β=\frac{π}{3}$；
当a∈（-$\sqrt{3}$，2）时，$α+β=\frac{7π}{3}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．