Question

14．抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$，则PF的斜率为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$，则cos∠MNQ，利用二倍角公式求出tan∠MFO，然后求出P的坐标，即可得到直线的斜率．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），
过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，
$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$，则$\frac{|MN|}{|QN|}$=$\sqrt{5}$，∴cos∠MNQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴cos∠MFO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．tan∠MFO=2，
∴M（-1，4），∴P（4，4）．
∴${K}_{PF}=\frac{4-0}{4-1}$=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．