Question

18．已知函数f（x）=4-log₂x，g（x）=log₂x．
（1）当$x∈（\frac{1}{2}，8）$时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；
（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x³）•f（x²）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）h（x）=（4-log₂x）•log₂x，利用换元法，配方法，即可求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；
（2）令t=log₂x，则t∈[0，3]﹒（4-3t）（4-2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．令φ（t）=（4-3t）（4-2t）-kt=6t²-（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立，分类讨论，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）由题意，h（x）=（4-log₂x）•log₂x，
令t=log₂x，则y=-t²+4t=-（t-2）²+4，…（2分）
∵$x∈（\frac{1}{2}，8）$，∴t∈（-1，3），y∈（-5，4]
即函数h（x）的值域为（-5，4]．…（4分）
（2）∵f（x³）•f（x²）＞kg（x），令t=log₂x，则t∈[0，3]﹒
∴（4-3t）（4-2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．…（5分）
令φ（t）=（4-3t）（4-2t）-kt=6t²-（k+20）t+16，
则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立．…（6分）
∵φ（t）的图象抛物线开口向上，对称轴$t=\frac{k+20}{12}$，
∴①当$\frac{k+20}{12}≤0$，即k≤-20时，∵φ（0）＞0恒成立，
∴k≤-20；                                            …（7分）
②当$\frac{k+20}{12}≥3$，即k≥16时，
由φ（3）＞0，得$k＜\frac{10}{3}$，不成立；                          …（8分）
③当$0＜\frac{k+20}{12}＜3$，即-20＜k＜16时，
由$φ（\frac{k+20}{12}）＞0$，得$-20-8\sqrt{6}＜k＜-20+8\sqrt{6}$，
∴$-20＜k＜-20+8\sqrt{6}$．…（9分）
综上，$k＜-20+8\sqrt{6}$．…（10分）

点评 本题考查分段函数，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．