Question

13．设p：y=c^x是R上的单调递减函数；q：函数g（x）=lg（2cx²+2x+1）的值域为R．如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则正实数c的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• B． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$
• D． $（{0，\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．

解答 解：若y=c^x是R上的单调递减函数，则0＜c＜1，
若函数g（x）=lg（2cx²+2x+1）的值域为R，
则当c=0时，g（x）=lg（2x+1）的值域为R满足条件，
若c≠0，要使函数g（x）=lg（2cx²+2x+1）的值域为R，
则$\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{△=4-8c≥0}\end{array}\right.$，即0＜c≤$\frac{1}{2}$，综上$0≤c≤\frac{1}{2}$；
若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
则p，q为一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{c＞\frac{1}{2}或c＜0}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}$＜m＜1，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜c≤\frac{1}{2}}\\{c≥1或c≤0}\end{array}\right.$，此时无解，
综上正实数c的取值范围是$\frac{1}{2}$＜m＜1，
故选：A

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出两个命题的为真命题的等价条件是解决本题的关键．