Question

7．某城市理论预测2014年到2018年人口总数y （单位：十万）与年份（用2014+x表示）的关系如表所示：

年份中的x	0	1	2	3	4
人口总数y	5	7	8	11	19

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a；
（3）据此估计2019年该城市人口总数．
（参考数据：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，0²+1²+2²+3²+4²=30）
参考公式：线性回归方程为$\hat y=bx+a$，其中 $b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$．

Answer 1

分析 （1）根据表格画出散点图：可得y与x是正相关．
（2）根据所给的数据求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，可依据公式求得b和a的值，从而求得回归方程．
（3）在回归直线的方程中，令x=5，求得对应的y值，可得结论．

解答 解：（1）根据表格画出散点图：可得y与x是正相关．
概据题中数表画出数据的散点图如下图所示．
（2）由题中数表，知：$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（0+1+2+3+4）=2，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（5+7+8+11+19）=10，
∴b=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}x}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-{5\overline{x}}^{2}}$=3.2，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=3.6，∴回归方程为y=3.2x+3.6．
（3）当x=5时，求得y=19.6（十万）=196（万）．
答：估计2019年该城市人口总数约为196万．

点评 本题主要考查两个变量的相关关系，线性回归问题，求回归直线的方程以及回归方程的应用，属于基础题．