Question

17．已知函数f（x）=x²-ax+b（a，b∈R）的图象经过坐标原点，且f′（1）=1，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据函数经过原点求出b=0，然后根据f′_（x）=1，求出a的值，再根据a_n=S_n-S_n-1求出a_n的通项公式，
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n，得b_n=n-3²ⁿ，即可得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-3²+2-3⁴+3-3⁶+…+n-3²ⁿ，再写出9T_n=3⁴+2-3⁶+3-3⁸+…+n-3²ⁿ⁺²，两式相减整理可得数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵y=f（x）的图象过原点，
∴f（x）=x²-ax
由f′_（x）=2x-a得f′_（x）=2-a=1，
∴a=1，
∴f_（x）=x²-x，
∴S_n=n²-n，a_n=S_n-S_n-1=n²-n-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2，（n≥2））
∵a₁=S₁=0，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-2（n∈N⁺）．
（2）由a_n+log₃n=log₃b_n，得b_n=n•3²ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1•3²+2•3⁴+3•3⁶+…+n•3²ⁿ ①
∴9T_n=3⁴+2•3⁶+3•3⁸+…+n•3²ⁿ⁺² ②，
②-①得8T_n=n-3²ⁿ⁺²-9-（3⁴+3⁶+…+3²ⁿ ）=n-3²ⁿ⁺²-$\frac{{3}^{2n+2}-{3}^{4}}{8}$，
∴T_n=$\frac{n-{3}^{2m+2}}{8}$-$\frac{{3}^{2n+2}-81}{64}$=$\frac{（8n-1）•{3}^{2n}+9}{64}$．

点评 本题主要考查数列的求和和等差数列的通项公式的知识点，解答本题的关键是求出a和b的值，熟练掌握等差、等比数列的求和公式．