Question

15．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E，F分别是棱BC，CD上的动点．
（1）当BE=CF时，求证：B′F⊥D′E；
（2）若点E为BC的中点，在棱CD上是否存在点F，使二面角C′-EF-C的余弦值为$\frac{1}{3}$？若存在，请确定点F的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设CE=DF=a，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B'F⊥D'E．
（2）设DF=b，求出平面EFC'的一个法向量和平面EFC的一个法向量，由向量法能求出当点F为棱CD的中点时，二面角C'-EF-C的余弦值为$\frac{1}{3}$．

解答 证明：（1）设CE=DF=a，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，…（1分
则E（a，2，0），F（0，a，0），B'（2，2，2），D'（0，0，2），C'（0，2，2），…（3分）
∴$\overrightarrow{B'F}=（-2，a-2，-2），\overrightarrow{D'E}=（a，2，-2）$，
∵$\overrightarrow{B'F}•\overrightarrow{D'E}=（a，2，-2）×（-2，a-2，-2）$=-2a+2a-4+4=0，…（5分）
∴$\overrightarrow{B'F}⊥\overrightarrow{D'E}$，∴B'F⊥D'E．…（6分）
解：（2）设DF=b，由题意可知，E（1，2，0），F（0，b，0）（0≤b≤2），
∴$\overrightarrow{EF}=（-1，b-2，0）$，$\overrightarrow{C'F}=（0，b-2，-2）$，…（8分）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面EFC'的一个法向量，
则有$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{{C}^{'}F}•\overrightarrow{n}$=0，
即$\left\{{\begin{array}{l}{-x+（b-2）y=0}\\{（b-2）y+（-2）z=0}\end{array}}\right.$，令y=1得，$\overrightarrow{n}$=（b-2，1，$\frac{b-2}{2}$），…（10分）
而平面EFC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
要使二面角C'-EF-C的余弦值为$\frac{1}{3}$，
只需|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1}{3}$，即$|\frac{{\frac{b-2}{2}}}{{\sqrt{{{（b-2）}^2}+1+{{（\frac{b-2}{2}）}^2}}}}|=\frac{1}{3}$，
解得b=1，b=3（舍），…（12分）
∴当点F为棱CD的中点时，二面角C'-EF-C的余弦值为$\frac{1}{3}$．…（13分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．