Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC=

2

a．
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求证：∠PCD为二面角P-BC-D的平面角．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题意及图形利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）由（1）可得PD⊥AC，又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，由线面垂直的判定定理得到AC⊥平面PBD，进一步利用面面垂直的判断证明；
（3）由（1）可得PD⊥BC，又BC⊥CD，由线面垂直的判断得到BC⊥平面PCD，利用线面垂直的性质定理得到所证．

解答： （1）证明：∵PA=PC=

2

a，PD=a
∴PD²+AD²=PA²，即PD⊥AD，
又∵PD⊥CD．AD∩CD=D
∴PD⊥平面ABCD；
（2）由（1）可得PD⊥AC，又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
所以 AC⊥平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD；
（3）由（1）可得PD⊥BC，又BC⊥CD，所以BC⊥平面PCD，
所以BC⊥CD，BC⊥PC，
所以∠PCD为二面角P-BC-D的平面角．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用，关键是熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理．