Question

8．已知椭圆C的对称轴为坐标轴，一个焦点为F（0，-$\sqrt{2}}$），点M（1，$\sqrt{2}}$）在椭圆C上
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：2x-y-2=0与椭圆C交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆焦点坐标椭圆结果的点，结合椭圆的定义求解a，b，即可求出椭圆方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可求出弦长．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C的对称轴为坐标轴，一个焦点为F（0，-$\sqrt{2}}$），∴$c=\sqrt{2}$，
点M（1，$\sqrt{2}}$）在椭圆C上
∴$2a=\sqrt{{{（1-0）}^2}+{{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）}^2}}+\sqrt{{{（1-0）}^2}+{{（\sqrt{2}-\sqrt{2}）}^2}}$，（3分）
a=2，b²=a²-c²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$．（6分）
（Ⅱ）联立直线l与椭圆C的方程$\left\{\begin{array}{l}2x-y-2=0\\ \frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x{\;}_1=0\\{y_1}=-2.\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x_2}=\frac{4}{3}\\{y_2}=\frac{2}{3}.\end{array}\right.$（10分）
∴A（0，-2），$B（\frac{4}{3}，\frac{2}{3}）$．$|{AB}|=\sqrt{{{（\frac{4}{3}-0）}^2}+{{（\frac{2}{3}+2）}^2}}=\frac{4}{3}\sqrt{5}$．（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．