Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=a（0＜a＜1），且a_n+1=

an

1+an

（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（3）求证：

a1

2

+

a2

3

+…+

an

n+1

＜1．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由数列递推式结合已知求得a₂，a₃，a₄；
（2）把已知的数列递推式取倒数，整理后即可证得数列{

1

an

}为等差数列；
（3）把a_n代入

an

n+1

，整理后放缩即可证明

a1

2

+

a2

3

+…+

an

n+1

＜1．

解答： （1）解：由题意，a2=

a

1+a

，a3=

a

1+2a

，a4=

a

1+3a

；
（2）证明：∵a_n+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=1+

1

an

，

1

an+1

-

1

an

=1．
即数列{

1

an

}是首项为

1

a

，公差为1的等差数列；
（3）证明：∵数列{

1

an

}是首项为

1

a

，公差为1的等差数列，
∴

1

an

=

1

a

+(n-1)，
an=

a

1+(n-1)a

=

1

1 a +(n-1)

＜

1

n

(0＜a＜1)．
∴

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．