Question

已知点F（0，1），一动圆过点F且与圆x²+（y+1）²=8内切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设点A（a，0），点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d（用a表示）．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设圆心坐标为P（x，y），则动圆的半径为r=

x2+(y-1)2

，又动圆与x²+（y+1）²=8内切，故

x2+(y-1)2

=|2

2

-r|，由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程．
（2）设P（x，y），则|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²=-（x+a）²+2a²+2，令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]．再分类讨论能够推导出d（a）=

1-a，a＜-1 2a2+2 ，-1≤a≤1 1+a，a＞1

．

解答： 解：（Ⅰ）设圆心坐标为P（x，y），则动圆的半径为r=

x2+(y-1)2

，
又动圆与x²+（y+1）²=8内切，
∴

x2+(y-1)2

=|2

2

-r|，
整理得2x²+y²=2，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为2x²+y²=2．…（6分）
（Ⅱ）设P（x，y），则
|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²
=-x²-2ax+a²+2
=-（x+a）²+2a²+2，
令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]，
∴当-a＜-1，即a＞1时，f（x）在[-1，1]上是减函数，
[f（x）]_max=f（-1）=（a+1）²．
当-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，f（x）在[-1，-a]上是增函数，在[-a，1]上是减函数，
则[f（x）]_max=f（-a）=2a²+2．
当-a＞1，即a＜-1时，f（x）在[-1，1]上是增函数，
[f（x）]_max=f（1）=（a-1）²，
∴d（a）=

1-a，a＜-1 2a2+2 ，-1≤a≤1 1+a，a＞1

．…（13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．