Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD中点，M是棱PC上的点，PD=PA=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（1）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；
（2）求证：平面PQB⊥底面PAD；
（3）（仅理科做）若PM=3MC，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）本小题是一个证明线面平行的题，一般借助线面平行的判定定理求解，如图连接AC，交BQ于N，连接MN，先证明MN∥PA，再由线面平行的判定理证明线面平行；
（2）本小题是一个证明面面垂直的题，可采用面面垂直的定义求二面角是直角，或者用面面垂直的判定理证明，由题设条件知，利用面面垂直的判定定理证明较易，观察图形与题设条件，法一：可通过证明BQ⊥平面PAD来证明面面垂直；
（3）连结BD，以Q为坐标原点，QA，QB，QP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，求出平面BMQ和BCQ的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 解：（1）连接AC，交BQ于N，连接MN．     …（1分）
∵BC∥AD且BC=

1

2

AD，即BC平行且等于AQ，
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M在是棱PC的中点，
∴MN∥PA．…（2分）
∵MN?平面MQB，PA?平面MQB，…（3分）
∴PA∥平面MBQ． …（4分）
（2）∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．…（6分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（7分）
∴BQ⊥平面PAD．         …（8分）
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．   …（9分）
（3）连结BD，∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
∴△BAD是等边三角形，
∴BQ⊥AD由（Ⅰ）PQ⊥平面ABCD．
∴PQ⊥AD．
以Q为坐标原点，QA，QB，QP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系

则Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，

3

，0），P（0，0，

3

）．
设平面BMQ的法向量

m

=（x，y，z）为，
注意到MN∥PA，∴

m • QB =0 m • PA =0

，
解得

m

=（

3

，0，1）是平面BMQ的一个法向量
又∵平面BCQ的法向量为

n

=

QP

=（0，0，

3

）
故二面角M-BQ-C的平面角θ满足：cosθ=

| m • n |

| m || n |

=

1

2

，
故θ=

π

3

，
即二面角M-BQ-C的平面角为

π

3

．…（12分）

点评：本题考查面面垂直的证明方法以及线面平行的证明，考查面面角，解题的关键是利用线面平行的判定，理解面面角的定义，属于中档题．