Question

已知直线l的参数方程为

x=-1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

(t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为

3

x+y．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ-

π

6

）的公共点，求

3

x+y的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；
（2）将

x=-1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

(t为参数），代入z=

3

x+y得z=-t，又直线l过C（-1，

3

），圆C的半径是2，可得结论．

解答： 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-

π

6

），
即有ρ=2

3

sinθ-2cosθ，
则ρ²=2

3

ρsinθ-2ρcosθ，即有x²+y²=2

3

y-2x，
即为圆C：x²+y²+2x-2

3

y=0；
（2）设z=

3

x+y，
由圆C的方程x²+y²+2x-2

3

y=0，可得（x+1）²+（y-

3

）²=4，
所以圆C的圆心是（-1，

3

），半径是2，
将

x=-1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

(t为参数），代入z=

3

x+y得z=-t，
又直线l过C（-1，

3

），圆C的半径是2，
由题意有：-2≤t≤2，
所以-2≤t≤2．
即

3

x+y的取值范围是[-2，2]．

点评：本题考查直线的参数方程与圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．