Question

15．已知f（x）=alnx-x²在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p、q，不等式$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}＞1$恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （3，5）
• B． （-∞，0）
• C． （3，5]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 由不等式进行转化，然后判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：∵p≠q，不妨设p＞q，由于$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}＞1$，
∴f（p）-f（q）＞p-q，得[f（p）-p]-[f（q）-q]＞0，
∵p＞q，∴g（x）=f（x）-x在（0，1）内是增函数，
∴g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即$\frac{a}{x}-2x-1$＞0恒成立，
a＞x（2x+1）的最大值，
∵x∈（0，1）时x（2x+1）＜3，
∴实数a的取值范围为[3，+∞）．
故选：D．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据不等式进行转化判断函数的单调性，分离参数是解决本题的关键，是中档题．