Question

2．已知函数f（x）=2xe^x
（1）过点（-4，0）作曲线y=f（x）的切线l，求切线l的方程；
（2）若实数a满足（a-1）（e^a-1）＞0，求证：对任意x∈（0，+∞），a[f（x）-a（e^2x-1）]＜0恒成立．

Answer 1

分析 （1）根据题意设切线l的方程为y=k（x+4），切点为（x₀，f（x₀）），利用导数的几何意义和斜率公式即可求出切点，问题得以解决，
（2）先求出a的范围，再构造函数g（x）=f（x）-a（e^2x-1），利用导数求出函数的最值，即可证明．

解答 解：（1）根据题意设切线l的方程为y=k（x+4），切点为（x₀，f（x₀）），
则k=f′（x），
∵f′（x）=2e^x（x+1），
∴$\frac{f（{x}_{0}）-0}{{x}_{0}+4}$=$\frac{2{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}}{{x}_{0}+4}$=f′（x₀）=2${e}^{{x}_{0}}$（x₀+1），
∴x₀²+4x₀+4=0，
解得x₀=-2，
∴k=-$\frac{2}{{e}^{2}}$，
∴切线l的方程为y=-$\frac{2}{{e}^{2}}$（x+4），
（2）证明：由题意（a-1）（e^a-1）＞0，解得a＞1或a＜0，
设g（x）=f（x）-a（e^2x-1），
∴g′（x）=2e^x（x+1-ae^x），
当a＞1时，g′（x）=2e^x（x+1-ae^x），
令h（x）=x+1-ae^x，
∴h′（x）=1-ae^x＜0恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）=2e^x（x+1-ae^x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴ag（x）＜0恒成立，
当a＜0时，g′（x）=2e^x（x+1-ae^x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴ag（x）＜0恒成立，
综上所述对任意x∈（0，+∞），a[f（x）-a（e^2x-1）]＜0恒成立．

点评 本题考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．