Question

5．某班在高三凉山二诊考试后，对考生的数学成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．得到频率分布直方图如图所示．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有2人．
（1）请补充完整频率分布直方图；

（2）现从该班成绩在[130，150]的学生中任选三人参加省数学竞赛，记随机变量x表示成绩在[130，140）的人数，求x的分布列和E（x）．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图得第六组的频率为：0.05，由第六组有2人，求出样本单元数n=40，再由第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有2人，求出第四组小矩形的高，第五组小矩形的高，由此能完成频率分布直方图．
（2）该班成绩在[130，140]的学生有4人，成绩在[140，150]的学生有2人，从成绩在[130，150）的学生中任选三人参加省数学竞赛，基本事件总数n=${C}_{6}^{3}$=20，随机变量X表示成绩在[130，140）的人数，则X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由频率分布直方图得：
第六组的频率为：0.005×10=0.05，
∵第六组有2人，∴样本单元数n=$\frac{2}{0.05}$=40，
∵第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有2人，
设公差为d，
∴0.020×10×40+0.015×10×40+0.035×10×40+（2+2d）+（2+d）+2=40，
解得d=2，
∴第四组小矩形的高为：$\frac{6}{40}$÷10=0.015，
第五组小矩形的高为：$\frac{4}{40}÷10$=0.010．
∴频率分布直方图为：

（2）该班成绩在[130，140]的学生有4人，成绩在[140，150]的学生有2人，
从成绩在[130，150）的学生中任选三人参加省数学竞赛，
基本事件总数n=${C}_{6}^{3}$=20，
随机变量X表示成绩在[130，140）的人数，则X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

EX=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}$=2．

点评 本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题．