Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=∠APD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，且AB=4，AP=PD=BC=CD=2．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若E为侧棱PB的中点，求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用平面ADP⊥平面ABCD，证明BD⊥平面ADP，即可证明PA⊥BD；
（2）证明∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角，再求出直线AE与底面ABCD所成角的正弦值．

解答： （1）证明：由已知条件易得：AB=4，AD=BD=2

2

，则BD⊥AD，
又平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
故BD⊥平面ADP，
又AP?平面ADP，从而有AP⊥BD…（6分）
（2）解：如图，取AD中点O，连接PO，OB，并取OB中点H，连接AH，EH，
∵PA=PD，∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
又 EH∥PO，
∴EH⊥平面ABCD
则∠EAH即为直线AE与平面ABCD的所成角
由（1）AP⊥BD，又AP⊥PD，PD∩BD=D∴AP⊥平面PBD∴AP⊥PB，∴PB=

AB2-AP2

=2

3

∴AE=

AP2+PE2

=

7

∴sin∠EAH=

EH

AE

=

2 2

7

=

14

14

，
直线AE与平面ABCD的所成角的正弦值为

14

14

．…（14分）

点评：本题考查直线AE与底面ABCD所成角的正弦值，考查平面与平面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．