Question

设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，则mn的取值范围是（　　）

• A、[3-2

  2

  ，3+2

  2

  ]
• B、（-∞，3-2

  2

  ]∪[3+2

  2

  ，+∞）
• C、[1-

  2

  ，1+

  2

  ]
• D、（-∞，1-

  2

  ]∪[1+

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，即可求mn的范围．

解答： 解：由圆的方程（x-1）²+（y-1）²=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d=

|m+n|

(m+1)2+(n+1)2

=1，
整理得：m+n+1=mn，
∴（m+n）²=（mn-1）²≥4mn，
设mn=x，则有x²-6x+1≥0，
解得：x≥3+2

2

或x≤3-2

2

，
则mn的取值范围为（-∞，3+2

2

]∪[3+2

2

，+∞）．
故选：B．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．