Question

已知f（x）=（x-1）e^x+1，x∈[0，1]
（Ⅰ）证明：f（x）≥0
（Ⅱ）若a＜

ex-1

x

＜b在x∈（0，1）恒成立，求b-a的最小值．
（Ⅲ）证明：f（x）图象恒在直线y=x-

1

2

的上方．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，即可得出f（x）≥f（0）=0；
（Ⅱ）令g（x）=

ex-1

x

，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值、最小值，即可得出a≤1，b≥e-1，即可得出结论；
（Ⅲ）由题意可得只需证f（x）＞x-

1

2

，即证（x-1）e^x-x+

3

2

＞0在[0，1]上恒成立．令k（x）=（x-1）e^x-x+

3

2

，利用导数判断函数的单调性，得出最值，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=xe^x≥0 即f（x）在[0，1]上单调递增．…（2分）
所以f（x）≥f（0）=0，即结论成立．…（3分）
（Ⅱ）令g（x）=

ex-1

x

，则g′（x）=

(x-1)ex+1

x2

≥0，x∈（0，1）…（4分）
所以，当x∈（0，1）时，g（x）＜g（1）=e-1，
要使

ex-1

x

＜b，只需b≥e-1 …（5分）
要使

ex-1

x

＞a成立，只需e^x-ax-1＞0在x∈（0，1）恒成立．…（6分）
令h（x）=e^x-ax-1x∈（0，1）
则h′（x）=e^x-a，由x∈（0，1），e^x∈（1，e），
当a≤1时，h′（x）≥0 此时x∈（0，1），有h（x）＞h（0）=0成立．
所以a≤1满足条件．
当a≥e时，h′（x）≤0，此时x∈（0，1）有h（x）＜h（0）=0，
不符合题意，舍去．
当1＜a＜e时，令h′（x）=0，得x=lna，
可得当x∈（0，lna）时，h′（x）≤0．即x∈（0，lna）时，h（x）＜h（0）=0，
不符合题意舍去．
综上，a≤1 …（9分）
又b≥e-1，所以b-a的最小值为e-2．…（10分）
（Ⅲ）由题意只需证f（x）＞x-

1

2

，即证（x-1）e^x-x+

3

2

＞0在[0，1]上恒成立．
令k（x）=（x-1）e^x-x+

3

2

，k′（x）=xe^x-1 …（11分）
k^″（x）=（x+1）e^x＞0，即k′（x）在[0，1]上单调递增．
又k′(

1

2

)＜0，k′（1）＞0，所以k′（x）在[0，1]有唯一的解，记为x₀，x0∈(

1

2

，1)
且x0ex0-1=0，即ex0=

1

x0

…（12分）
可得当x∈（0，x₀）时，k′（x）≤0，当x∈（x₀，1）时，k′（x）≥0，
所以只需最小值k（x₀）=（x₀-1）ex0-x₀+

3

2

=

5

2

-（x0+

1

x0

） …（13分）
易得x0+

1

x0

＜

5

2

，x₀∈（

1

2

，1），所以k（x）＞0．
所以结论得证．…（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的有关性质，判断函数的单调性、求函数的极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．