Question

已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1．求证：log_x

a+b

2

+log_x

b+c

2

+log_x

a+c

2

＜log_xa+log_xb+log_xc．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：证明题,分析法

分析：利用分析法，要证原不等式成立，只需寻找结论成立的充分条件．

解答： 证明：要证log_x

a+b

2

+log_x

b+c

2

+log_x

a+c

2

＜log_xa+log_xb+log_xc，
只需证log_x（

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

）＜log_x（abc）．
由已知0＜x＜1，得只需证

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc．
由公式

a+b

2

≥

ab

＞0，

b+c

2

≥

bc

＞0，

a+c

2

≥

ac

＞0．
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞

ab

•

bc

•

ac

=abc．
即

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc成立．
∴log_x

a+b

2

+log_x

b+c

2

+log_x

a+c

2

＜log_xa+log_xb+log_xc成立．

点评：本题考查不等式的证明，突出分析法的考查，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．