Question

1．设f（x）=ax-4x³，对?x∈[-1，1]总有f（x）≤1，则a的取值范围是{3}．

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到函数的单调性，求出f（x）的最大值，求出a的值即可．

解答 解：对?x∈[-1，1]总有f（x）≤1，
即ax≤4x³+1在[-1，1]恒成立，
x=0时，显然成立，
x＞0时，问题转化为a≤4x²+$\frac{1}{x}$，
而y=4x²+$\frac{1}{x}$≥3$\sqrt{{4x}^{2}•\frac{1}{2x}•\frac{1}{2x}}$=3，
当且仅当4x²=$\frac{1}{2x}$即x=$\frac{1}{2}$时“=”成立，
故a≤3，
x＜0时，问题转化为a≥4x²+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=4x²+$\frac{1}{x}$，x∈[-1，0），
g′（x）=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
故g（x）在[-1，0）递减，
g（x）_max=g（-1）=3，
故a≥3，
综上，a=3
故答案为：{3}．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．