Question

9．已知函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$（x∈（1，5]）
（1）证明函数的单调性，
（2）求函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，5]递减，运用单调性的定义证明，设出自变量，作差，变形，定符号和下结论；
（2）由单调性可得函数f（x）的最小值，无最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，5]递减，
证明：设1＜x₁＜x₂≤5，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
由1＜x₁＜x₂≤5，可得x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
可得$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$＞0，
即有f（x₁）＞f（x₂），
可得f（x）在（1，5]递减；
（2）由（1）可知f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，5]递减，
f（x）的最小值为f（5）=$\frac{1}{2}$，无最大值．

点评 本题考查函数的单调性及证明，以及运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．