Question

6．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为10．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB-2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD＞0，AE＞0，CD＞0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．

解答 解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．
因为AB为直径，所以∠ADB=90°．
在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽Rt△AED．
所以$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$，即AE=$\frac{A{D}^{2}}{AB}$．
又AD=x，AB=4，所以AE=$\frac{{x}^{2}}{4}$．
所以CD=AB-2AE=4-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4-$\frac{{x}^{2}}{2}$+x=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，$\frac{{x}^{2}}{4}$＞0，4-$\frac{{x}^{2}}{2}$＞0，
解得0＜x＜2$\sqrt{2}$，
故所求的函数为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8（0＜x＜2）
y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+10，
又0＜x＜2$\sqrt{2}$，所以，当x=2时，y有最大值10．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题．射影定理的应用是解决此题的关键，二次函数在解决实际问题中求解最值的常用的方法，属于中档题．