Question

12．自2016年下半年起六安市区商品房价不断上涨，为了调查研究六安城区居民对六安商品房价格承受情况，寒假期间小明在六安市区不同小区分别对50户居民家庭进行了抽查，并统计出这50户家庭对商品房的承受价格（单位：元/平方），将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组（单位：元/平方），并作出频率分布直方图如图：
（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计出这50户家庭对商品房的承受价格平均值（单位：元/平方）；
（Ⅱ）为了作进一步调查研究，小明准备从承受能力超过4000元/平方的居民中随机抽出2户进行再调查，设抽出承受能力超过8000元/平方的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图计算平均数；
（Ⅱ）由频率分布直方图，计算承受价格超过4000元、超过8000元的居民户数，得出ξ的可能取值，写出ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）50户家庭对商品房的承受价格平均值为$\overline x$（元/平方），
则$\overline x=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000$=3360；
（Ⅱ）由频率分布直方图，承受价格超过4000元的居民共有
（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15（户），
承受价格超过8000元的居民共有：
0.00003×2000×50=3（户），
因此ξ的可能取值为0，1，2，
$P（ξ=0）=\frac{{C_{12}^2}}{{C_{15}^2}}=\frac{22}{35}$，
$P（ξ=1）=\frac{{C_3^1C_{12}^1}}{{C_{15}^2}}=\frac{12}{35}$，
$P（ξ=0）=\frac{C_3^2}{{C_{15}^2}}=\frac{1}{35}$，
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{22}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

数学期望为E（ξ）=$0×\frac{22}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{1}{35}=\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，也考查了频率分布直方图的应用问题，是中档题．