Question

11．（1）已知椭圆的两焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．求此椭圆的方程；
（2）过点（3，-2）且与椭圆4x²+9y²=36有相同焦点的椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程，根据椭圆的性质，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）先根据椭圆4x²+9y²-36=0求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆过点（3，-2）求得a，最后根据a和c与a的关系求得a和b即可．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a=2，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）椭圆4x²+9y²=36的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，焦点F₁（-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），
设椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∴椭圆的半焦距c=$\sqrt{5}$，即a²-b²=5
∵$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-5}=1$，
∴解得：a²=15，b²=10
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆性质的应用，考查计算能力，属于基础题．