Question

已知F₁、F₂分别是椭圆M：

x2

a2

+

y2

a2-2

=1（a＞

2

）的左右焦点，点P是椭圆M上一点，且

PF1

•

PF2

=0，则离心率e取最小值时椭圆M的方程为（　　）

• A、

  x2

  8

  +

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  4

  +

  y2

  2

  =1
• C、

  x2

  6

  +

  y2

  4

  =1
• D、

  x2

  16

  +

  y2

  14

  =1

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：本题通过条件将向量条件转化不几何条件，再得到参数a、b、c的不等关系，得到离心率e的取值范围，从而求出离心率e取最小值时椭圆M的方程，得到本题结论．

解答： 解：∵F₁、F₂分别是椭圆M：

x2

a2

+

y2

a2-2

=1（a＞

2

）的左右焦点，
∴b²=a²-2，c²=a²-b²=2．
∴c=

2

．
∵点P是椭圆M上一点，且

PF1

•

PF2

=0，
∴PF₁⊥PF₂．
∴在直角三角形PF₁F₂中，PO=

1

2

F1F2=

2

．
∵b≤PO＜a，
∴b≤

2

＜a，
∴a²-2≤2＜a²，
∴

2

＜a≤2．
∵c=

2

，
∴e=

c

a

∈[

2

2

，1)．
离心率e取最小值时，a=2．
∴a²=4，b²=2．
椭圆方程为：

x2

4

+

y2

2

=1．
故答案为：B．

点评：本题考查了向量垂直的转化、椭圆的离心率、椭圆的方程，本题难度不大，属于基础题．