Question

曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，切线方程，在方程中，令y=0，x=0，可得三角形的面积，进而可得最小值．

解答： 解：由题意，对函数f（x）=xⁿ⁺¹求导可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在点（1，1）处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得x_n=

n

n+1

，令x=0可得y_n=-n，
∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与两坐标轴围成的三角形面积S=

1

2

•

n2

n+1

=

1

2

•

1

( 1 n + 1 2 )2- 1 4

≥

1

4

，
∴三角形面积的最小值为．
故答案为：

1

4

．

点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了基本运算的能力，比较基础．