Question

（a₁+a₂）（b₁+b₂+b₃）（c₁+c₂+c₃+c₄）展开式中，形如a_xb_xc_x的项称为同序项，形如a_xb_xc_y，a_xb_yc_x，a_yb_xc_x（x≠y）的项称为次序项，如a₂b₂c₂q是一个同序项，a₁b₁c₃是一个次序项．从展开式中任取两项，恰有一个同序项和一个次序项的概率为

 

．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：根据多项式的乘法法则，分析易得在（a₁+a₂）中有2种取法，在（b₁+b₂+b₃）中有3种取法，在（c₁+c₂+c₃+c₄）中有4种取法，进而由分步计数原理计算可得总事件的个数．运用分步计数原理得出同序项为：a₁b₁c₁，a₂b₂c₂共2个，序号都不相同的为：

C

1 2

×C

1 2

×C

1 2

=8个，再运用你间接法求解得出次序项个数为：24-2-8=14，根据古典概率公式求解即可．

解答： 解：由二项式定理可得，（a₁+a₂）（b₁+b₂+b₃）（c₁+c₂+c₃+c₄）
的结果中每一项都必须是在（a₁+a₂）、（b₁+b₂+b₃）、（c₁+c₂+c₃+c₄）三个式子中任取一项后相乘，得到的式子，
而在（a₁+a₂）中有2种取法，在（b₁+b₂+b₃）中有3种取法，在（c₁+c₂+c₃+c₄）中有4种取法，
由乘法原理，可得共有2×3×4=24种情况，
∴同序项为：a₁b₁c₁，a₂b₂c₂共2个，
序号都不相同的为：

C

1 2

×C

1 2

×C

1 2

=8个，
次序项个数为：24-2-8=14，
∴从展开式中任取两项，恰有一个同序项和一个次序项的概率为：

C 1 2 ×C 1 14

C 2 24

=

2×14

12×23

=

7

69

，
故答案为：

7

69

点评：本题主要考查二项式定理的应用，分步计数原理求解事件个数的方法，古典概率的求解，属于中档题．