Question

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，它的前n项和为S_n，且a₁-1，a₂-1，a₃+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2

an+1•an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得到(a2-1)2=(a1-1)(a3+1)，代入公差后求得a₁，则等差数列的通项公式可求；
（2）把a_n代入b_n=

2

an+1•an

并列项，然后利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵a₁-1，a₂-1，a₃+1成等比数列，
∴(a2-1)2=(a1-1)(a3+1)，即(a1+1)2=(a1-1)(a1+5)，
解得：a₁=3．
∴数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
则a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）b_n=

2

an+1•an

=

2

(2n+3)(2n+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

．
∴T_n=b1+b2+…+bn=(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

3

-

1

2n+3

．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．