Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求证：PD⊥面ABE；
（2）在线段PD上是否存在点F，使CF∥面PAB？若存在，指出点F的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证PD⊥面ABE，按线面垂直的判定定理，要让PD垂直于平面ABE内两条相交直线，有一条直线能看出垂直，PD⊥AB，因为AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，所以AB⊥PA，所以AB⊥平面PAD，所以PD⊥AB，另一条直线是PD⊥AE，这是通过证明AE⊥平面PCD得出的．
（2）要找一点F，使CF∥平面PAB，转化成找CF所在的平面和平面PAB平行，可以过C作CG∥AB，作GF∥PA，这样便容易证明平面CFG∥平面PAB，并且通过边的关系找到F点在PD上的位置．

解答： 解：（1）设PA=AB=BC=a，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=a=PA，E为PC中点；
∴AE⊥PC；
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD；
∴PA⊥CD；
又AC⊥CD；
∴CD⊥平面PAC，AE?平面PAC；
∴CD⊥AE，即AE⊥CD，PC∩CD=C；
∴AE⊥平面PCD，PD?平面PCD；
∴AE⊥PD，即PD⊥AE；
∵AB⊥PA，AB⊥AD；
∴AB⊥平面PAD，PD?平面PAD；
∴AB⊥PD，即PD⊥AB，AB?平面ABE，AE?平面ABE，且AB∩AE=A；
∴PD⊥面ABE．
（2）过C作CG∥AB，交AD于G，过G作GF∥PA交PD于F，连接CF；
∵CG∥AB，AB?平面PAB；
∴CG∥平面PAB，同理GF∥平面PAB；
∴平面CFG∥平面PAB，CF?平面CFG；
∴CF∥平面PAB；
∵∠CAD=30°，AC=a；
∴CD=

3 a

3

，CG=

a

2

，AD=

2 3 a

3

，∠CGD=90°；
∴DG=

3 a

6

，

DG

AD

=

3 6 a

2 3 a 3

=

1

4

；
∴F点找到了，它在PD上，使DF=

1

4

PD．

点评：考查线面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，注意找一条直线与一平面平行，通过找这条直线所在平面和那个平面平行的办法．