Question

已知函数f（x）=x|x-4|，x∈[0，m]，其中m∈R且m＞0．如果函数f（x）的值域为[0，λm²]，试求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：去掉绝对值，画出函数f（x）的图象，结合图象，讨论m的取值，用m表示出λ，根据m的取值，从而求得λ在每种情况下的最小值，对每种情况下的λ作比较，取最小的即可．

解答： 解：∵f（x）=x|x-4|=

x(4-x)，x≤4 x(x-4)，x＞4

；
该函数图象如下：

当0＜m≤2时，-m²+4m=λm²，解得λ=

4

m

-1，
∵0＜m≤2，∴

1

m

≥

1

2

，

4

m

-1≥1，∴此时λ最小值为1；
当2＜m≤2+2

2

时，λm²=4，λ=

4

m2

，
∵2＜m≤2+2

2

，∴4＜m²≤12+8

2

，

4

m2

≥

1

3+2 2

=3-2

2

，
∴此时λ最小值为3-2

2

；
当m≥2+2

2

时，m²-4m=λm²，解得λ=1-

4

m

，
∵m≥2+2

2

，∴0＜

4

m

≤2

2

-2，
∴1-

4

m

≥3-2

2

，∴此时λ最小值为3-2

2

；
综上得λ的最小值为3-2

2

．

点评：本题考查处理绝对值函数的方法，利用分段函数图象解决问题的方法，以及二次函数图象及值域，根据λ的范围求λ最小值的方法．