Question

如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元．设∠CDA=α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,根据实际问题选择函数类型,正弦定理的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）在△ACD中，求出相关的角．利用正弦定理，求出CD=

5 3

sinα

，AD=

10sin( 2π 3 -α)

sinα

，表示出所需运输成本为S元关于α的函数表达式．
（2）利用函数表达式，求出函数的导数，通过导数的符号，求解函数的最值．

解答： 解：（1）由题在△ACD中，∠CAD=

π

3

，∠CDA=α，AC=10，∠ACD=

2π

3

-α．
由正弦定理知

CD

sin π 3

=

AD

sin( 2π 3 -α)

=

10

sinα

，得CD=

5 3

sinα

，AD=

10sin( 2π 3 -α)

sinα

…（3分）
∴S=4AD+8BD+12CD=12CD-4AD+80=

60 3 -40sin( 2π 3 -α)

sinα

+80=20

3

3-cosα

sinα

+60(

π

3

＜x＜

2π

3

)…（7分）
（2）S′=20

3

1-3cosα

sin2α

，令S′=0，得cosα=

1

3

…（10分）
当cosα＞

1

3

时，S′＜0；当cosα＜

1

3

时，S′＞0，∴当cosα=

1

3

时S取得最小值…（12分）
此时sinα=

2 2

3

，AD=

5 3 cosα+5sinα

sinα

=5+

5 6

4

，
∴中转点C距A处

20+5 6

4

千米时，运输成本S最小…（14分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．