Question

1．一中科普兴趣小组通过查阅生物科普资料统计某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系，他们分别从近十年3月份的数据中随机抽取了5天记录昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并列表如下：

日期	2012-3-1	2013-3-5	2008-3-15	2009-3-20	2016-3-29
温差x	10	11	13	12	9
发芽数y	15	16	17	14	13

参考数据：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=832，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=615，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$$-b\overline{x}$
（1）请根据以上5组数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）假如现在要对（1）问中的线性回归方程的可靠性进行研究：如果由线性回归方程得到的估计数据与另外抽取的两组数据的误差的平方和不超过2，即认为此线性回归方程可靠的．如果另外随机抽取的两组数据为：温差8℃，发芽数为12和温差14℃，发芽数为18．请由此判断（1）中的线性回归方程是否可靠；（3）如果将以上5天数据中30颗种子发芽数超过15颗（包含15颗）的天数的频率作为整个2017年3月份的30颗种子发芽数超过15颗（包含15颗）的天数的概率，求从2017年3月份的1号到31号的31天中任选5天，记种子发芽数超过15颗（包含15颗）的天数为随机变量X，求X的期望和方差．

Answer 1

分析 （1）由记录昼夜温差及每天30颗种子的发芽数列表求出$\overline{x}$=11，$\overline{y}$=15，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=832，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=615，从而得到b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=0.7，a=$\overline{y}$$-b\overline{x}$=7.3，由此能求出y关于x的线性回归方程．
（2）当x=8时，$\widehat{y}$=0.7×8+7.3=12.9，当14时，$\widehat{y}$=0.7×14+7.3=17.1，由线性回归方程得到的估计数据与另外抽取的两组数据的误差的平方和小于2，从而（1）中的线性回归方程是可靠的．
（3）由题意得X的可能取值为0，1，2，推导出X～B（5，$\frac{3}{5}$），由此能求出X的期望和方差．

解答 解：（1）由记录昼夜温差及每天30颗种子的发芽数列表，得：
$\overline{x}$=$\frac{10+11+13+12+9}{5}$=11，$\overline{y}$=$\frac{15+16+17+14+13}{5}$=15，
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=832，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=615，
∴b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=0.7，a=$\overline{y}$$-b\overline{x}$=7.3，
∴y关于x的线性回归方程为$\widehat{y}$=0.7x+7.3．
（2）由（1）知，当x=8时，$\widehat{y}$=0.7×8+7.3=12.9，
当14时，$\widehat{y}$=0.7×14+7.3=17.1，
∴由线性回归方程得到的估计数据与另外抽取的两组数据的误差的平方和为：
（12.9-12）²+（17.1-18）²=1.62＜2，
∴（1）中的线性回归方程是可靠的．
（3）由题意得X的可能取值为0，1，2
从2017年3月份的1号到31号的31天抽取的5天中每天30颗种子发芽数超过15颗（包含15颗）的天数的概率均为$\frac{3}{5}$，
且每天的发芽是否超过15颗（包含15颗）互相不影响，∴X～B（5，$\frac{3}{5}$），
∴EX=5×$\frac{3}{5}$=3，DX=$5×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．

点评 本题考查线性回归方程、离散型随机变量的数学期望及方差的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方思想，是中档题．