Question

16．已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|-x²+4ax-3a²＞0}．
（1）若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求解二次不等式化简集合A．
（1）对a分类求解集合B，然后把x∈A是x∈B的充分条件转化为含有a的不等式组求解a的范围；
（2）由A∩B=∅，借助于集合A，B的端点值间的关系列不等式求解a的范围．

解答 解：A={x|x²-6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，
B={x|（x-a）（x-3a）＜0}．
（1）当a=0时，B=∅，不合题意．
当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，要满足题意，
则$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥4}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}$≤a≤2．
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，要满足题意，
则$\left\{\begin{array}{l}{3a≤2}\\{a≥4}\end{array}\right.$无解．
综上，a的取值范围为[$\frac{4}{3}$，2]
（2）要满足A∩B=∅，
当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}
则a≥4或3a≤2，即0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥4．
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，
则a≤2或a≥$\frac{4}{3}$，即a＜0．
当a=0时，B=∅，A∩B=∅．
综上，a的取值范围为 （-∞，$\frac{2}{3}$]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了交集及其运算，考查了必要条件、充要条件的判断与应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．