Question

11．二次函数f（x）的二次项系数为正数，且对任意的x∈R都有f（x）=f（4-x）成立，若f（1-2x²）＜f（1+2x-x²），则x的取值范围为（-2，0）．

Answer 1

分析 由已知条件即可得到二次函数f（x）的对称轴为x=2，二次项系数又大于0，从而知道二次函数图象上的点和x=2的距离越大，函数值越大，从而得到|1-2x²-2|＜|1+2x-x²|，通过整理及完全平方式即可得到关于x的一元二次方程，解方程即得实数a的取值范围．

解答 解：由f（x）=f（4-x）知，二次函数f（x）的对称轴为x=2；
∵二次项系数为正数，
∴二次函数图象的点与对称轴x=2的距离越大时，对应的函数值越大；
∴由f（1-2x²）＜f（1+2x-x²）得|1-2x²-2|＜|1+2x-x²-2|；
即2x²+1＜（x-1）²；
解得-2＜x＜0；
∴实数x的取值范围是（-2，0）．
故答案为：（-2，0）．

点评 考查由f（x）=f（4-x）即可知道f（x）的图象关于x=2对称，开口向上的二次函数图象上的点与对称轴的距离和对应函数值大小的关系，以及完全平方式的运用，解一元二次不等式．