Question

我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+

8

x

（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143-|x-22|（元）．
（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N^*）的函数关系；
（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据旅游收入p（x）等于每天的旅游人数f（x）与游客人均消费g（x）的乘积，然后去绝对值，从而得到所求；
（2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本．

解答： 解：（1）依据题意，有p（x）=f （x）•g（x）=(8+

8

x

)•(143-|x-22|)（1≤x≤30，x∈N*）
=

8x+ 968 x +976，(1≤x≤22，x∈N*) -8x+ 1320 x +1312．(22＜x≤30，x∈N*)

…（4分）
（2）1°当1≤x≤22，x∈N^*时，
p（x）=8x+

968

x

+976≥2

8x• 968 x

+976=1152（当且仅当x=11时，等号成立），
因此，p（x）_min=p（11）=1152（千元）．…（8分）
2°当22＜x≤30，x∈N^*时，p（x）=-8x+

1320

x

+1312．
求导可得p′（x）＜0，所以p（x）=-8x+

1320

x

+1312在（22，30]上单调递减，
于是p（x）_min=p（30）=1116（千元）．
又1152＞1116，所以日最低收入为1116千元．…（12分）
该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元），
因803.52万元＞800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金．…（14分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．