Question

已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx-

3

2

，且f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先根据已知条件列方程组求得a，b进而可得函数的解析式，利用两角和公式进行化简，利用周期公式求得答案．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数的单调增区间．

解答： 解：（1）依题意

f(0)=2a- 3 2 = 3 2 f( π 4 )=a+ b 2 - 3 2 = 1 2

，求得a=

3

2

，b=1，
∴f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（2）由2kπ-

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
即函数的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质．求得函数的解析式是解决问题的关键．