Question

如图1，已知四边形ABCD是上、下底长分别为2和6，高DO为2

3

的等腰梯形，将它沿DO折成120°的二面角A-DO-B，如图2，连结AB，AC，BD，OC．

（Ⅰ）求三棱锥A-BOD的体积V；
（Ⅱ）证明：AC⊥BD；
（Ⅲ）求二面角D-AC-O的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由图形可以看出三棱锥A-BOD的体积等于三棱锥D-AOB的体积，而三棱锥D-AOB的体积可求，OD是高，所以根据三棱锥的体积公式即可求出V；
（Ⅱ）用已知到长度及位置关系的几条边所在向量表示向量

AC

，

BD

，并求出

AC

•

BD

=0即可；
（Ⅲ）根据OD⊥平面AOB，分别以OB，OD所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据已知条件求出A，O，C，D几点的坐标，从而求出向量

AC

，

DC

，

OC

，的坐标，设平面ACD的法向量为

n1

=(x1，y1，1)，平面AOC的法向量为

n2

=(x2，y2，1)．根据

n1

⊥

AC

，

n1

⊥

DC

即可求出

n1

，同理可求得

n2

，通过图形可看出这两个法向量的夹角即等于二面角D-AC-O的大小，所以求这两法向量夹角的余弦值即可．

解答： 解：（Ⅰ）如图所示，OD⊥OA，OD⊥OB，OA∩OB=O，∴OD⊥平面AOB，∴OD是三棱锥D-AOB底面AOB的高；
∴V_A-BOD=V_D-AOB=

1

3

S△AOB•OD=

1

3

×

1

2

×2×4×

3

2

×2

3

=4，即三棱锥A-BOD的体积V=4；
（Ⅱ）

AC

•

BD

=(

AO

+

OD

+

DC

)•(

BO

+

OD

)=

AO

•

BO

+

AO

•

OD

+

OD

•

BO

+

OD

2+

DC

•

BO

+

DC

•

OD

=2×4×(-

1

2

)+(2

3

)2+2×4×(-1)=0；
∴

AC

⊥

BD

，即AC⊥BD；
（Ⅲ）由前面知，OD⊥平面AOB，所以以O为原点，OB，OD所在直线为y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
则可确定以下几点坐标：
O（0，0，0），A（

3

，-1，0），C（0，2，2

3

），D（0，0，2

3

）；
∴

AC

=(-

3

，3，2

3

)，

DC

=(0，2，0)；
设平面ACD的法向量为

n1

=(x1，y1，1)，平面ACO的法向量为

n2

=(x2，y2，1)，则：

n1 • AC =0 n1 • DC =0

，∴

- 3 x1+3y1+2 3 =0 2y1=0

，解得x₁=2，y₁=0，∴

n1

=(2，0，1)；
同理得

n2

=(-1，-

3

，1)；
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

1

5

，由图可知，

n1

，

n2

的夹角和二面角D-AC-O的大小相等；
∴二面角D-AC-O的余弦值是-

1

5

．

点评：考查线面垂直的判定定理，三棱锥的体积公式，通过向量证明异面直线垂直的方法，通过建立空间直角坐标系利用向量求解二面角的方法，平面法向量的概念，向量夹角的余弦公式．