Question

如图，正四棱锥S-ABCD中，底面正方形ABCD边长为4，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．
（1）求证：直线SA∥平面BDE；
（2）求直线BD与平面SBC所成角θ的正弦值；
（3）在线段AB内是否存在点F，使EF⊥SD？若存在，求出AF的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）连接OE，则OE∥SA，OE在平面BDE内，SA在平面BDE外，所以SA∥平面BDE；
（2）求直线BD与平面SBC所成角θ的正弦值，先找出角θ，容易发现若取BC中点G，连接OG，SG，则平面SOG⊥平面SBC，且平面SOG∩平面SBC=SG，所以只需过O作直线SG的垂线OH，则OH与平面SBC垂直，连接BH，则角OBH便是直线BD和平面SBC所成角，已知的边的长度及边的关系求出OH，OB的长度，则：sin∠OBH=

OH

OB

；
（3）以O为原点，OA，OB，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AF=x，求出向量

EF

，

SD

的坐标，根据

EF

⊥

SD

，则

EF

•

SD

=0，带入坐标可求出x，根据x的值即可判断是否存在点F．

解答： 解：（1）如图，连接OE，∵O是AC的中点，E是侧棱SC的中点，∴OE∥SA
又OE?平面BDE，SA?平面BDE，∴直线SA∥平面BDE；
（2）取BC中点G，连接SG，OG，∵SO⊥平面ABCD，BC?平面ABCD；
∴SO⊥BC，即BC⊥SO；
又BC⊥OG，SO∩OG=O，∴BC⊥平面SOG，BC?平面SBC；
∴平面SBC⊥平面SOG，平面SBC∩平面SOG=SG；
所以过O作OH⊥SG，则OH⊥平面SBC；
∴连接BH，∠OBH是直线BD和平面SBC所成的角；
∵异面直线SA和BC所成角的大小是60°，所以SA和AD所成的角是60°；
∴△SAD是等边三角形，即四棱锥的侧面是等边三角形；
∴SG=2

3

，OG=2，∴在Rt△SOG中，SO=

12-4

=2

2

，∴SG•OH=OG•OS，即2

3

•OH=2•2

2

，∴OH=

2 6

3

，又OB=2

2

；
∴在Rt△OBH中，sin∠OBH=

OH

OB

=

2 6 3

2 2

=

3

3

；
（3）由已知条件知，OA、OB、OS两两垂直，分别以射线OA、OB、OS为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系；
假设AF=x时，满足EF⊥SD，则：
S（0，0，2

2

），D（0，-2

2

，0），E（-

2

，0，

2

），F（2

2

-

2

2

x，

2

2

x，0）；
∴

EF

=(3

2

-

2

2

x，

2

2

x，-

2

)，

SD

=(0，-2

2

，-2

2

)；
则：

EF

•

SD

=0-2x+4=0，解得x=2；
∴在线段AB内存在点F，使EF⊥SD，且AF=2．

点评：考查线面平行的判定定理，异面直线所成角的概念，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，通过建立空间直角坐标系，利用向量解决异面直线垂直问题的方法．