Question

6．在△ABC中，AB=6，AC=3$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-18．
（1）求BC的长；
（2）求tan2B的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量积的运算由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-18可得AB•AC•cosA=18，利用余弦定理可求BC的长度．
（2）方法1：利用余弦定理求解cosB和sinB，可得tanB，在利用二倍角公式求tan2B．
方法2：利用正弦定理求sinB，在求cosB，可得tanB，在利用二倍角公式求tan2B．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-18可得AB•AC•cosA=-18，
∵AB=6，AC=3$\sqrt{2}$
∴cosA=$\frac{18}{6×3\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{3π}{4}$
由余弦定理可得：
BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cosA}$=$3\sqrt{10}$；
（2）方法1：
由（1）可得：a=3$\sqrt{10}$，b=3$\sqrt{2}$，c=6，
可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
那么sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}=\frac{1}{3}$
故得tan2B=$\frac{2tanB}{1-ta{n}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$．
方法2：
由（1）可得：cosA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A=$\frac{3π}{4}$
那么：$0＜B＜\frac{π}{4}$
∵a=3$\sqrt{10}$，b=3$\sqrt{2}$，c=6，
那么sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，
可得sinB=$\frac{3\sqrt{2}×sinA}{3\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
那么：cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$
∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}=\frac{1}{3}$
故得tan2B=$\frac{2tanB}{1-ta{n}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了正余弦定理的运用和二倍角公式，同角三角关系式的运用．属于基础题．