题目内容
15．
如图，点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1（线段BC1）上运动，给出下列五个命题：①直线AD与直线B1P为异面直线；
②A1P∥平面ACD1；
③三棱锥A-D1PC的体积为定值；
④面PDB1⊥面ACD1；
⑤直线AP与平面ACD1所成角的大小不变．
其中真命题的编号为①②③④．（写出所有真命题的编号）
分析 对于①，根据异面直线的判定定理，可得结论；
对于②，连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；
对于③，容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，以P为顶点，平面AD1C为底面，易得；
对于④，容易证明PDB1⊥面ACD1，从而可以证明面面垂直；
对于⑤，可以从向量的角度进行判断；
解答 解：对于①：AD∥平面B1C1CB，B1P?平面B1C1CB，B1P与AD不平行，故直线AD与直线B1P为异面直线；①正确；
对于②：连接A1B，A1C1，可得平面BA1C1∥面ACD1，∵A1P?平面BA1C1，故A1P∥平面ACD1；②正确；
对于③：容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A-D1PC的体积不变；③正确；
对于④：连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，
可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确；
对于⑤：∵随着P点的移动，$\overrightarrow{AP}$与平面ACD1的法向量的夹角也是变化的，∴⑤错误
故答案为：①②③④
点评 本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．
练习册系列答案
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