Question

18．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1（{x≤0}）\\ f（{x-1}）+1（{x＞0}）\end{array}\right.$，把函数g（x）=f（x）-x的零点的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（　　）

• A． ${a_n}=\frac{{n（{n-1}）}}{2}$
• B． a_n=n（n-1）
• C． a_n=n-1
• D． ${a_n}={2^n}-2$

Answer 1

分析 根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念得所求的解．

解答 解：当x∈（-∞，0]时，
由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x=x+1．
令y=2^x，y=x+1．
在同一个坐标系内作出两函数在区间
（-∞，0]上的图象，
由图象易知交点为（0，1），
故得到函数的零点为x=0．
当x∈（0，1]时，x-1∈（-1，0]，
f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x-1=x．
令y=2^x-1，y=x．
在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），
故得到函数的零点为x=1．
当x∈（1，2]时，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-2+1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-2+1-x=0，得2^x-2=x-1．令y=2^x-2，y=x-1．
在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，
由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．
依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，
构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），
得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a_n=n-1．
故选：C．

点评 本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示；培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想