题目内容
【题目】（本小题满分12分）
某港湾的平面示意图如图所示， 
， 
， 
分别是海岸线
上的三个集镇， 
位于
的正南方向6km处， 
位于
的北偏东
方向10km处．
（Ⅰ）求集镇
， 
间的距离；
（Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇
的交通压力，拟在海岸线
上分别修建码头
，开辟水上航线．勘测时发现：以
为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头
的位置，使得
之间的直线航线最短．
【答案】（1）14 （2）
【解析】试题分析：先利用余弦定理已知两边及其夹角求出第三边，根据题意要求，直线
必与圆
相切．设切点为
，连接
，则
．设
， 
， 
，根据面积相等求出
，再利用余弦定理和基本不等式“等转不等”，求出
的最小值.
试题解析：
（Ⅰ）在△
中， 
， 
， 
，
根据余弦定理得， 
，
所以
．故
， 
两集镇间的距离为14km．
（Ⅱ）依题意得，直线
必与圆
相切．设切点为
，连接
，则
．
设
， 
， 
，
在△
中，由
，
得
，即
，
由余弦定理得， 
，
所以
，解得
，当且仅当
时， 
取得最小值
．
所以码头
与集镇
的距离均为
km时， 
之间的直线航线最短，最短距离为
km．
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