Question

已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点?g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=

1

x

-2a=

1-2ax

x

．当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=

1

2a

时，函数g（x）取得极大值，
故要使g（x）有两个不同解，只需要g(

1

2a

)=ln

1

2a

＞0，解得即可．

解答： 解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．
g′（x）=

1

x

-2a=

1-2ax

x

，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=

1

2a

．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜

1

2a

，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞

1

2a

，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=

1

2a

时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g(

1

2a

)=ln

1

2a

＞0，解得0＜a＜

1

2

．
∴实数a的取值范围是(0，

1

2

)．
故答案为：(0，

1

2

)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．