Question

已知圆O：x²+y²=4和圆C：x²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）判断圆O和圆C的位置关系；
（Ⅱ）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；
（Ⅲ）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）求出两圆的半径和圆心距，由此能判断两圆的位置关系．
（Ⅱ）设切线l的方程为：y=kx+4，由圆心O到直线l的距离等于半径，能求出切线l的方程．
（Ⅲ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，由此得到圆O是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由

x2+y2=4 y=kx+4

，消去y整理，得（1+k²）x²+8kx+12=0，由此求出存在以AB为直径的圆P满足题意．从而能求出在以AB为直径的所有圆中，存在圆P：5x²+5y²-16x-8y+12=0或x²+y²=4，使得圆P经过点M（2，0）．

解答： 解：（Ⅰ）因为圆O的圆心O（0，0），半径r₁=2，圆C的圆心C（0，4），半径r₂=1，
所以圆O和圆C的圆心距|OC|=|4-0|＞r₁+r₂=3，
所以圆O与圆C相离．…（3分）
（Ⅱ）设切线l的方程为：y=kx+4，即kx-y+4=0，
所以O到l的距离d=

|0+0+4|

k2+1

=2，解得k=±

3

．
所以切线l的方程为

3

x-y+4=0或

3

x+y-4=0…（7分）
（Ⅲ）ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，
此时直线m与圆O的交点为A（0，2），B（0，-2），
AB即为圆O的直径，而点M（2，0）在圆O上，
即圆O也是满足题意的圆…（8分）
ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，
由

x2+y2=4 y=kx+4

，消去y整理，得（1+k²）x²+8kx+12=0，
由△=64k²-48（1+k²）＞0，得k＞

3

或k＜-

3

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

x1+x2=- 8k 1+k2 x1x2= 12 1+k2

…①…（9分）
由①得y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=

16-4k2

1+k2

，…②y1+y2=kx1+4+kx2+4=k(x1+x2)+8=

8

1+k2

，…③
若存在以AB为直径的圆P经过点M（2，0），则MA⊥MB，所以

MA

•

MB

=0，
因此（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，…（10分）
则

12

1+k2

+

16k

1+k2

+4+

16-4k2

1+k2

=0，所以16k+32=0，k=-2，满足题意．
此时以AB为直径的圆的方程为x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y+x₁x₂+y₁y₂=0，
即x2+y2-

16

5

x-

8

5

y+

12

5

=0，亦即5x²+5y²-16x-8y+12=0．…（12分）
综上，在以AB为直径的所有圆中，
存在圆P：5x²+5y²-16x-8y+12=0或x²+y²=4，使得圆P经过点M（2，0）…（14分）

点评：本题考查两圆位置关系的判断，考查圆的切线方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．