题目内容
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC中点．
（1）证明：EF与BD1，EF与BC1互为异面直线；
（2）求异面直线EF与BC1所成的角．
（1）证明：EF与BD1，EF与BC1互为异面直线；
（2）求异面直线EF与BC1所成的角．
考点：异面直线及其所成的角,异面直线的判定
专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）运用异面直线的判定定理：过平面内一点和平面外一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，即可得证；
（2）运用中位线定理和平移法，结合正方体的边与对角线的关系，即可得到所求值．
（2）运用中位线定理和平移法，结合正方体的边与对角线的关系，即可得到所求值．
解答：
（1）证明：由于直线EF在平面ABCD内，B在平面ABCD内，B不在直线EF上，
D1不在平面ABCD内，则有异面直线的判定定理，可得，EF，BD1为异面直线；
由于直线EF在平面ABCD内，B在平面ABCD内，B不在直线EF上，
C1不在平面ABCD内，则有异面直线的判定定理，可得，EF，BC1为异面直线；
（2）解：E，F分别是AB，BC中点，连接AC，则AC∥EF，
连接AD1，则AD1∥BC1，则∠D1AC即为异面直线EF与BC1所成的角．
连接CD1，则△ACD1即为等边三角形，
则有∠D1AC=60°，
则异面直线EF与BC1所成的角为60°．
（1）证明：由于直线EF在平面ABCD内，B在平面ABCD内，B不在直线EF上，D1不在平面ABCD内，则有异面直线的判定定理，可得，EF，BD1为异面直线；
由于直线EF在平面ABCD内，B在平面ABCD内，B不在直线EF上，
C1不在平面ABCD内，则有异面直线的判定定理，可得，EF，BC1为异面直线；
（2）解：E，F分别是AB，BC中点，连接AC，则AC∥EF，
连接AD1，则AD1∥BC1，则∠D1AC即为异面直线EF与BC1所成的角．
连接CD1，则△ACD1即为等边三角形，
则有∠D1AC=60°，
则异面直线EF与BC1所成的角为60°．
点评：本题考查异面直线的判断和所成的角的求法，考查运用异面直线的判定定理和平移法，属于基础题．
练习册系列答案
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如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别是CD、DA、AC的中点，则（ ）
| A、平面BEF⊥平面BGD |
| B、平面ABC⊥平面ACD |
| C、CD⊥平面BEF |
| D、AB⊥平面BGD |
点P为正方形ABCD所在平面外一点，AD=3，PD=2| 3 |
| A、30° | B、45° |
| C、60° | D、90° |
已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=AC=AB，∠BAC=90°，点E，F，G分别是棱BB1，A1B1，CC1的中点．求证：AF⊥BG．
如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起到A′BD，使面A′BD⊥面BCD，连接A′C，则在四面体A′BCD的四个面中，互相垂直的平面有（ ）