Question

已知直线l：y=x+m（m∈R）与直线l′关于x轴对称．
（1）若直线l与圆（x-2）²+y²=8相切于点P，求m的值和P点的坐标；
（2）直线l′过抛物线C：x²=4y的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）因为直线l与圆（x-2）²+y²=8相切于点P，点P到直线的距离等于半径，由点到直线的距离公式求得m的值，再代入求得P的坐标；
（Ⅱ）先根据对称和过抛物线C：x²=4y的焦点求出直线l′，再根据韦达定理求得y₁+y₂=-4（x₁+x₂）+2=6，再根据焦半径求出|AB|的长．

解答： 解：（Ⅰ）由点到直线的距离公式：d=

|2+m|

2

=2

2

，
解得m=2，或m=-6，
当m=2时，P的坐标为（0，2），
当m=-6时，P的坐标为（4，-2），
（Ⅱ）∵直线l：y=x+m（m∈R），
∴直线l′的方程为y=-x-m，
∵抛物线C：x²=4y
∴焦点坐标（0，1），
∴m=-1，
设A，B两点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
将直线y=-x+1代入抛物线x²=4y，整理得x²+4x-4=0，
∴x₁+x₂=-4，
∴y₁+y₂=-4（x₁+x₂）+2=6，
∴|AB|=y₁+y₂+2=8

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，以及弦的长度，培养了学生的计算能力，属于中档题